激務で待遇が悪く、心身ともに参ってしまい転職したい、でも、忙しくて転職活動できない、こういう人はどうすれば良いでしょうか？

不況だし、辞めて仕事がないのがわかるので決めて辞めたい...。悲惨すぎます。

私（失業中）ではありません。家族の者です。

正直申しあげまして「転職したい。でも激務で時間が取れない。」ならどちらかを捨てなさいってなると思います。
両立するのがいいと思いますが、当人は「どちらもできない」って言っておられるのでしょ？当人ができないって言っているのであれば、他人が入る余地は無いでしょうね。結局、どれだけ良いアドバイスであろうと当人が実行しなければ何もならないということです。
「転職活動を優先すれば？」→「そんな時間ないよ・・・」
「今の職場でやっていけば？」→「心身伴に参ってるんだ・・・」
なら、「どうぞ、今の会社を辞めて私の会社に来ませんか？」という言葉を待つと言うのでしょうか？
まず、ありえませんね。

求職活動中、ハローワークに行く・書類を送付・面接以外のときは何をすべきでしょうか？

たまに家事手伝いをする程度で大体ネットしたりゴロゴロしたりで1日が終わります。早く仕事決まればいいけどなかなか・・・。

今は、求人サイトの閲覧、資格取得のための勉強、
仕事の実用書などに目を通す、職務経歴書の見直し
等をしてますね。仕事が見つからない時には希望職種
の資格を持った方が無いよりはかなり良いらしいです。

雇用保険手続きについてですが、「待機期間」での「無職状態」とは離職票提出したあとからの機関のことをいいますか？離職後翌日からすぐに離職票が貰えるようでもない(作成に10日位かかるようですが)状態で離職票を
提出するまで(例えばその10日間)は仕事(バイト)はしても問題ないのでしょうか？申告は必要でしょうか？

ハローワークに離職票を提出して手続きをした日から７日間が待期期間です。その期間は働けません。
手続きをする前に辞めておけばアルバイトはしても構いませんよ。
手続きの時に働いていたかどうか聞かれますから正直に申告してください。それによって支給に変化はありません。
「補足」
そうですね、働けないというよりも働くと待期期間が延びるというのが正しい言い方ですね。

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