求人条件の休日のとこに4週(２日)休制と記載しており、土日祝日に丸で囲まれていました。
いまいち勤務曜日がわからなかったので教えていただけると助かります。宜しくお願いいたします。

土日、が休みで週休二日制
あわせて祝日も暦通り休みという勤務ではと考えます
ハローワーク紹介なら担当者から聞いてもらってください
業界紙なら電話で照会してもいいでしょうね
ここでは推測になります

失業保険について教えて下さい!!
現在派遣会社を通して、某企業で1年半働いてます。
契約は3ヶ月更新で、6月末で契約が満了します。次の更新も今まで通りあると思っていたのですが、6月末の派
遣切りで、更新はなしとなってしまいました。。。
契約期間満了での派遣切りの場合、失業保険は翌月から支給されるのでしょうか？

翌月じゃなくて、離職表を貰わない限りいつまで経っても貰えませんよ。
ハローワークに提出して、会社都合なので７日待機で貰えます。

再就職手当についてお聞きします。 再就職申請した後に受給前に退職してしまいました。再々就職する場合、新たに再就職手当の申請→受給ってできるのでしょうか？

再就職手当受給前に退職していまったらハローワークで手続きして下さい。
退職証明書を取ってほしいと言われると思います。
それを出ば元の離職者に戻れますから、次に就職した場合は再就職手当申請はできます。

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